Nicht direkt, aber ich hatte gestern der Neugierde halber mal versucht die Aufgabe mit der Spirale zu bearbeiten (ob die Spirale wirklich eine bessere Approxmation an die Realität ist sei jetzt mal dahingestellt). Das Ganze verlief auch ziemlich glatt - bis zu der Stelle an der es galt einen Bogen bestimmter Länge von der Rolle abzuwickeln. Dort versagte meine Modellierung, da ich ad hoc außerstande war eine bestimmte Formel umzustellen. 
Für den Fall das es jemand anderes mal versuchen möchte beschreibe ich hier mal eben die Modellierung:
Als erstes bestimmen wir den Proportionalitätsfaktor a. Da der Radius pro Umdrehung um die Papierstärke zunehmen soll ergibt sich a als
[tex]a = \frac{papierstaerke}{2\pi} [/tex].
Start- und Endpunkt der Spirale repräsentieren wir durch ihre Winkel:
[tex] \phi = \frac{aussenradius}{a}\ \phi_{ende} = \frac{innenradius}{a}[/tex]
Anmerkung: [tex]\phi_{ende}[/tex] gibt das innere Ende der Spirale an, [tex]\phi[/tex] das äußere Ende. Zum Abspulen der Papierrolle werden wir im Folgenden einfach [tex]\phi[/tex] verkleinern (also gegen [tex]\phi_{ende}[/tex] laufen lassen).
Für die Parameter papierstärke = 0.5, aussendurchmesser = 10, innendurchmesser = 5 schaut unsere virtuelle Spirale so aus:
Die Länge eines Papierbogens lässt sich nun mit Hilfe der Bogenlänge bestimmen. Die Formel dafür ist laut Wiki:
[tex] Bogenlaenge(\phi) = \frac{a}{2} \left( \phi \sqrt{1+\phi^2} + ln \left( \phi + \sqrt{1+\phi^2} \right) \right) [/tex].
Die Bogenlänge ist dabei die Länge der Spirale vom Ursprung aus bis zu dem durch [tex]\phi[/tex] repräsentierten Punkt (in den Diagrammen die Länge des roten Kurvenstücks). Die Länge der gesamten Papierrolle ist folglich
[tex] LaengeDerPapierrolle = Bogenlaenge(\phi) - Bogenlaenge(\phi_{ende}) [/tex].
Jetzt brauchen wir nur noch die Möglichkeit Papier abzuspulen. Im ersten Fall - es sollen n ganze Umdrehungen abgespult werden - ist die Sache einfach:
[tex] \phi = \phi - 2n\pi [/tex].
Im zweiten Fall - es soll eine Papierfläche abgespult werden - müssen wir zunächst die Länge des gewünschten Papierbogens bestimmen:
[tex] papierlaenge = \frac{papierflaeche}{rollenbreite} [/tex]
So. Und jetzt müsste man eigentlich nur noch die obige Formel für die Bogenlänge nach [tex] \phi [/tex] umstellen um den resultieren Winkel [tex]\phi[/tex] zu erhalten. Aber das ist leichter gesagt als getan… Hier wäre wohl ein Näherungsverfahren angesagt um den Winkel zu bestimmen, aber wirklich schön finde ich das nicht. Hat jemand 'ne bessere Idee?
(Als Annäherungsformel bin ich nur auf
[tex] \phi = \sqrt{ \phi^2 - 2\frac{papierlaenge}{a} } [/tex]
gestoßen*, aber ehrlich gesagt finde ich diese Näherung zu schlecht als das ich sie verwenden würde)
*nicht selbst errechnet sondern aus http://www.matheraetsel.de/archiv/DGLS/Wickel/WICKEL2.PDF entnommen
