B-adische Zahlendarstellung: Beweis

Sonstiges Theoretisches
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Hallo,

ich stehe gerade vor einem Problem.
Ich bin derzeit in der 12.Klasse eines bayerischen Gymnasiums und schreibe meine Seminararbeit in Mathematik Zahlentheorie und
mein Thema lautet “Stellenwertsysteme und Rechenverfahren”.

Doch es gibt ein Schwerpunkt der mir Probleme bereitet, das wäre die sogenannte “b-adische Zahlendarstellung”.
Diese Technik zur Darstellung natürlicher Zahlen will ich in einem Kapitel erklären und auch mathematisch beweisen.

Soweit ich verstanden habe ist der Sinn dieser Darstellung einfach, jede natürliche Zahl in einem Stellenwertsystem als Summe von Multiplikationen mit der Potenz der Basis dazustellen.
Ich weiß nicht, ob ich den Sinn richtig erfasst habe, falls nicht, bitte darauf hinweisen.

Doch bei den Beweisen, die ich gefunden habe, z.B. hier: http://goo.gl/DtTHpV, blicke ich gar nicht mehr durch. Die benutzen Symbole usw. sind mir unklar, etc.
Daher ist meine Frage, ob mir eventuell einer aus der Community dabei helfen könnte den Sinn dieser Darstellung und den Beweis dazu verstehen zu können.

Dafür wäre ich sehr dankbar.

LG

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Naja,

die Beweise hast du ja schon gefunden. Jetzt musst du die nur noch verstehen^^
Welche Symbole kennst du den nicht?

Im Prinzip nutzen wir ja auch so eine Darstellung, und zwar zur Basis 10. Unsere Computer nutzen dann eine Darstellung zur Basis 2.

Der Sinn dieser Beweise ist einfach, das man in der Mathematik nichts verwendet, was nicht in irgendeiner Form bewiesen worden ist. Wenn man es bewiesen hat und keine Fehler gemacht hat, weiss man welche Einschränkungen für bestimmte Darstellungsformen da sind. Dies ist vorallem dann wichtig, wenn man diese Darstellung verwendet um weitere Beweise zu führen.

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Na da wären zum Beispiel die ganzen ^ Symbole über den Buchstaben, die ich noch nie so gesehen habe.
Und argh. Ich versteh allein den ganzen Ansatz nicht, ich weiß zwar dass zum Beispiel das große Sigmar ne Summendarstellung mit Anfangs- und Endwert ist doch bei den verwendeten Variablen kann ich schlicht kein Bezug herstellen, da ich mich regelrecht erschlagen fühle und nicht weiß, wo ich anfangen soll.

LG

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das ^ ist nur zur Unterscheidung von 2 Verschiedenen Darstellungen so weit ich das sehe. Man macht dann dort ne ^ oder ne Schlange drüber um anzuzeigen, dass es änlich ist/ miteinander zu tun hat aber nicht das selbe ist. Man könnte genauso auch einen anderen Buchstaben nehmen. Und Hier zeigen sie dann, dass es, wenn es die selbe Zahl, darstellt genau gleich ist.

Das Sigma (Summenzeichen) gibt an, das man für den Unten angegebenen Index (meistens i,j,k,l,…) von i=… bis zu der Zahl die Oben drüber steht jede ganze Zahl nimmt, in dem Term dahinter für das i einsetzt (wenn es ein i gibt, aber sonst ist das eher eine Multiplikation als eine Summe) und alle diese Terme summiert.

z.B.:

Summe(i=0) bis 5 für i = 0+1+2+3+4+5 = 15

dabei würde das i=0 unter dem Summenzeichen, die 5 über dem Summenzeichen und das i (der Term) hinter dem Summenzeichen stehen.

Bei dem Link hat man verschiedene a’s:
a[SUB]1[/SUB] ,a[SUB]2[/SUB] ,a[SUB]3[/SUB] , …

Hier bei Wiki gibts auch Beispiele:

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Na, Matroid-Link ist vielleicht etwas konfus

du hast: eine zahl g>0

du willst: eine beliebige Zahl n schreiben als summe von a_i * g^i (wobei die a_i nur zwischen 0 und g-1 liegen dürfen)

beweisen willst du den folgenden Satz:

a) eine solche Darstellung existiert für jedes n

b) eine solche Darstellung ist eindeutig

zu a) wenn nicht, dann gibt es ein kleinstes n, das sich nicht so schreiben lässt - aber dann gibt es die Division mit Rest, d.h. es gibt ganze zahlen m und r mit

n=mg+r, wobei m eine solche Darstellung hat und r im Bereich 0…(g-1) liegt. Aber dann hätte auch n eine solche Darstellung.

zu b) angenommen du hättest zwei solche Darstellungen

summe a_i * g^i = summe b_i * g^i (mit irgendwelchen Koeffizienten a_i,b_i)

du willst beweisen, dass a_i=b_i ist für alle _i, dazu subtrahierst du die beiden Darstellungen und mit c_i:=a_i-b_i bleibt dir
nur folgendes übrig

Ist eine Summe von c_i g^i = 0, dann sind alle c_i=0. Wie macht man das? Es gibt ja einen “größten vorkommenden index”,

d.h. c_N ist ungleich null und für alle größeren i sind sind die c_i=0. Den Term isolierst du jetzt auf einer Seite

c_N g^N = summe (-c_i) g^i

Du kannst annehmen, dass c_N > 0 (sonst multipliziere beide Seiten mit -1)

Aber schau mal die rechte Seite an, jeder Einzelterm

c_i g^i <= |c_i| g^i <= (g-1)g^i

den gemeinsamen Faktor (g-1) kannst du ausklammern, also ist die Summe der übrigen Terme <= (g-1)(1+g^1+g^2+…g^(N-1)) = g^N - 1 (geometrische Reihe)

und du hättest c_N g^N <= g^N -1 was aber nicht geht wenn c_N>0 ist!

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Hallo,
voerst danke für die Antwort.

Leider hilft mir deine Antwort nicht direkt weiter, da ich bei dem Text keine Übersicht habe und mir auch das nötige logische mathematische Wissen
fehlt, das jetzt laut deinen Aussagen korrekt niederzuschreiben. Was ich eher brauche ist eine klare Struktur (bzw. auch Erläuterungen), um das verstehen zu können.

LG

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Siehe hier: http://www.uni-regensburg.de/Fakultaeten/nat_Fak_I/Mat4/waldi/skript/kapIII_para3.pdf

Ist dir wenigstens der Inhalt des Satzes klar, der da unten auf Seite 1 steht?

Und mathematisches Wissen brauchst du eigentlich gar keines: die geometrische Reihe und die Division mit Rest sind die einzigen Zutaten (und vollständige Induktion)

Arbeite dich einfach da durch, von der Symbolik abgesehen ist da nicht viel dahinter.

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Hallo,
danke für den Link, auf den ersten Blick versteh ich von Anfang schon mal viel mehr.
Eine Kleine frage: Bedeutet der ’ hinter einer Zahl zum Beispiel 3’ einfach den Nachfolger, in diesem Falle 4 ?

LG

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Ja, in der Zeile werden Symbole definiert, etwa das Symbol 4 soll der Nachfolger von 3 sein