Bereich von Zahlen auf anderen Bereich umrechnen

Sonstiges Theoretisches
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Hallo, ich hätte mal eine Frage bezüglich etwas mathematischem, bei dem ich jedes mal wieder Probleme habe. Angenommen ich habe einen float, der Zahlen von A bis B sein kann, den ich jetzt aber auf den Bereich von C bis D umrechnen muss. Meistens sind es schöne Zahlen, wie [0,1] auf [-100,100] oder ähnliches, aber wie mache ich es bei z.b. [3,7] auf [-17,50]? Gibt es ein System um die Formel aufzustellen?

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Da hilft reine Logik :wink:

Ich würde die Intervalle beide normieren (also auf [0,1] bringen) und dann die Formeln zusammensetzen. Beispiel:

[3,7] normieren:
Intervallbreite: [tex]i_1 = 3-7 = 4[/tex]
Offset: [tex]o_1 = 3[/tex]
Formel um zu normieren: [tex]\frac{x_1 - o_1}{i_1} = \frac{x_1 - 3}{4} = x_{\mathrm{norm}}[/tex]

Das selbe für das zweite Intervall:
[-17,50]
Intervallbreite: [tex]i_2 = 67[/tex]
Offset: [tex]o_2 = -17[/tex]
Formel: [tex]\frac{x_2 + 17}{67} = x_{\mathrm{norm}}[/tex]

Gleichsetzen:
[tex]\frac{x_1 - 3}{4} = \frac{x_2 + 17}{67}[/tex]
Jetzt noch ein bisschen Formeln schubsen und du hast deine Rechenregel von [tex]x_1[/tex] nach [tex]x_2[/tex] und umgekehrt.

Allgemein:
[tex]\frac{x_1 - o_1}{i_1} = \frac{x_2 - o_2}{i_2}[/tex]
Bzw:
[tex]x_1 = \frac{(x_2 - o_2)i_1}{i_2}+o_1[/tex]

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geht doch direkt

wenn man vom Intervall [a,b] auf das Intervall [c,d] will, dann ist die gesuchte Funktion genau die gerade durch zwei Punkte (a,c) und (b,d)

also wie in der Schule gelernt: **f(x)=((d-c)/(b-a))x+d-((d-c)/(b-a))b die Gerade mit der Steigung m=(d-c)/(b-a)

hinschauen zeigt f(a)=ma+d-mb=m(a-b)+d=(c-d)+d=c und f(b)=mb+d-mb=d

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WOW, so einfach kanns gehen. Vielen Dank

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[QUOTE=Bleiglanz]geht doch direkt
[…][/QUOTE]

Schöner Ansatz! Die Idee, das Intervall von der X- auf die Y-Achse zu projizieren finde ich sehr elegant.
Die Formel lässt sich noch ein kleines bisschen zusammenfassen:
[tex]f(x)=\frac{dx-cx+bc-da}{b-a}[/tex]

Für diejenigen, denen es noch nicht aufgefallen ist: die Formel ist dieselbe wie die, die ich oben gepostet habe, nur dass die Intervalle und Offsets eingesetzt sind und danach etwas zusammengefasst.

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Oft (nicht immer, aber sehr oft) ist es in solchen Fällen praktisch, die Zahlenbereiche, um die es geht, zu normalisieren - also auf das Intervall [0,1] umzurechnen. Dann ließe es sich zurückführen auf eine “Normalisierung” (die eine gegebene Zahl aus einem bestimmten Intervall auf eine Zahl aus [0,1] umrechnet), und einer “Skalierung” (die eine gegebene Zahl aus dem Intervall [0,1] auf die gewünschte Zahl aus dem Zielintervall umrechnet).

Ob das auch hier angebracht ist, kann man nicht wissen…

import java.util.Locale;

public class Normalization
{
    public static double normalize(double input, double min, double max)
    {
        return (input-min)/(max-min);
    }
    public static double scale(double input, double min, double max)
    {
        return min + input * (max-min);
    }
    public static void main(String[] args)
    {
        double minIn = 3;
        double maxIn = 7;
        double minOut = -17;
        double maxOut = 50;
        
        for (double input=minIn; input<=maxIn; input+=0.1)
        {
            double alpha = normalize(input, minIn, maxIn);
            double output = scale(alpha, minOut, maxOut);
            System.out.println(
                "Input: "+String.format(Locale.ENGLISH, "%5.2f", input)+
                " normalized: "+String.format(Locale.ENGLISH, "%5.2f", alpha)+
                " output: "+String.format(Locale.ENGLISH, "%5.2f", output));
        }
    }    
}