Hallo Leute.
so, ich schreibe morgen eine Mathearbeit, (es geht hauptsächlich um ganzrationale funktionen und quadratische gleichungen), und
eine aufgabe habe ich im buch zum üben gefunden, zu der ich überhaupt keinen lösungsansatz finde.
Es geht um folgendes:
Man soll eine Tangenten gleichung berechnen. Gegeben ist natürlich die Parabel gleichung, (sry, ich hab die grad vergessen, trag das später nach), und, das ist das problem, einen punkt, der nicht auf der parabel liegt, sondern ganz wo anders. und nun soll man wie gesagt die Tangentengleichung berechnen. Aber wie soll das bitte gehen?
Zwei formeln sind im buch gegeben: Einmal wie man den berührpunkt hat, (geht aber nur wenn man die steigung hat, diese ist nicht gegeben) und wie man die steigung ausrechnet - dazu benötigt man aber einen Punkt auf der Parabel.
Die Formeln sind berührpunkt P = (m / 2a | m^2 / 4a) und m = 2ax.
Nun, wie soll das jetzt gehen? Eine lösung gibt es dazu leider nicht, und ich hab wie gesagt keine ahnung wie das jetzt gehen soll.
welche klasse? in der oberstufe macht man das mit der Ableitung
in der Mittelstufe nimmst du einem ALLGEMEINEN PUNKT auf der Parabel (x, ax^2+bx+c) und berechnest den Schnittpunkt der Geraden von diesem Punkt zu dem anderen Punkt
(einfach: gleichung einer Geraden durch zwei Punkte ALLGEMEIN hinschreiben)
Schneide diese Gerade mit der Parabel => führt zu einer quadratischen Gleichung für x
Diese hat genau eine Lösung genau dann, wenn es die Tangente ist
und das ist genau dann der Fall, wenn die Diskriminante dieser neuen Quadratischen Gleichung null ist
Das liefert dir die x-Koordinate des Berührpunktes
=> daraus folgt alles andere
In der Oberstufe machst du das ganz genau so, nur kannst du dann Ansetzen: Steigung der Verbindungsgerade = Steigung der Parabel im Punkt auf der Parabel, das liefert dann eine lineare Gleichung für x
Es handelt sich um die 10.te, also die Einführungsphase der Oberstufe.
Zu deinem letzten Satz:
(m tangente [ist doch verbindungsgrad, oder was meinst du?] = m P auf Parabel) - das Problem ist ja gerade, das ich einen Punkt hab, der NICHT auf der Parabel liegt…
@Bleiglanz hat es ja schon versucht zu erklären. Ich versuche es nochmal mit anderen Worten:
Du hast eine Parabel. An dieser Parabel liegen unendlich viele Tangenten (soweit klar, oder?).
Gesucht ist eine der unendlich vielen Tangenten, die durch den Punkt A geht.
*** Edit ***
Eine Anmerkung noch:
es gibt genau 0 Tangenten (also keine Lösung) durch einen beliebigen Punkt, wenn der Punkt über der Parabel liegt
es gibt genau 1 Tangente (eindeutige Lösung) durch einen beliebigen Punkt, wenn der Punkt auf der Parabel liegt
es gibt genau 2 Tangengen (zwei Lösungen) durch einen beliebigen Punkt, wenn der Punkt unter der Parabel liegt
So das Thema hatte ich letztes Jahr ;D also du willst die Tangentengleichung durch den Punkt A oder? Wenn dieser Punkt auf der Parabel liegt ist ja gut. Nun musst du einfach die Ableitung bilden. Die allgemeine Formel fuer eine Ableitung lautet:
f’(x)=nx^n-1
Fuer seine Gleichung waere das also:
f’(x)=5.2 mal 2 mal x^1
= 10.4x
(ich sollte mir mal lex angucken…)
Jetzt kannst du in diese Ableitung den x Wert des gegebenen Punktes A einsetzen und su erhaeltst die Steigung in diesem Punkt.
Hier ein Bild der beiden Funktionen(hab die mit nem CAS Rechner gemacht):
Ich versuch mal den Anfang nach Bleiglanz’s erklärung:
Parabel: f(x) = 5,2x²
Tangente: t(x) = m * x + n
So und jetzt komm ich schon nicht weiter (ich würd jetzt echt gern „: D“ schreiben aber mir ist echt grad nicht zum lachen zu mute #.#)
Ich soll also die allgemeine gleichung gerade durch 2 punkte hinschreiben? naja, hier ist sie doch:
m= y2−y1 / x2−x1
und n folgt ja dann daraus
und weiter?
*** Edit ***
ja, das hab ich jetzt kapiert. aber was ich jetzt konkret tun muss leuchtet mir leider nicht ein
*** Edit ***
Mist, wenn ich das nicht kapiere bin ich morgen aufgeschmissen…
es gibt eine sogenannte allgemeine Tangentengleichung
y = (x-u)* f’(u)+f(u)
Mit dieser Formel kann das einfach berechnet werden. x,y (A(2|0)sind von dem Punkt der nicht auf der Funktion liegt zu nehmen. Dann bekommst du ein Funktion in Abhängigkeit von u, die du nach u auflösen kannst (Mitternachtsformel).
f’(u) = 10,4 x
0 = (2-u) * 10,4 u + 5,2 u²
0 = 20,8 u - 10,4 u² + 5,2 u²
0 = 20,8 u - 5,2 u²
0 = 5,2 u * (4 - u)
u_1 = 0
u_2 = 4
Jetzt kannst du den Punkt A(2|0) nehmen und in eine Geradengleichung einsetzen. Da m = f’(u) ist muss zur Berechnung noch das u eingesetzt werden um das m zu berechnen.
m_1 = f’(0) = 0;
m_2 = f’(4) = 41,6;
Mitternachts und pq Formel unterscheiden sich ja nicht großartig voneinander.
0 = x² + p x + q
vs.
0 = ax² + bx + c
Wichtig ist eigentlich nur, dass die allgemeine Tangentengleichung sitzt.
Die allgemeine Geradengleichung lautet
y = mx + c
Wenn du die Gerade zwischen zwei Punkten berechnen möchtest stellst du zwei Gleichungen auf bei denen du die Punkte einsetzt
z.B. A(1|2) , B(3|4)
ergibt
2 = 1m + c
4 = 3m + c
Dies dann nach einer Variable auflösen und einsetzen und dann ausrechnen. (ca. Stoff der 8.ten Klasse)
Bei deinem Problem kannst du genauso vorgehen.
A(2|0) und B(u|f(u)). B beschreibt einen beliebigen Punkt auf der Funktion
0 = 2m + c
f(u) = um + c
Eine weitere besonderheit ist auch, dass das m = f’(u) ist.
Wenn man nun das f’(u) einsetzt bekommt man
0 = 2f’(u) + c
f(u) = uf’(u) + c
Jetzt kann man das nach belieben auflösen oder von einander abziehen.
0 - f(u) = 2f’(u) + c - (uf’(u) + c)
Dabei fällt das c weg und wenn man das f(u) noch auf die andere Seite bringt, dann steht da die allgemeine Tangentengleichung von oben.
0 = (2 - u)* f’(u)+f(u)
Jetzt muss man für die Funktionen nur noch dass passende einsetzen und nach u auflösen. Aber das hab ich ja schonmal geschrieben.
was genau bedeutet eigentlich f’ also dieser strich?
Vielen Dank, ich hoffe ich verstehe das.
Ich bezweifle es zwar, aber mehr kann man mir ja jetzt auch nicht helfen. also, vielen dank.
*** Edit ***
vielleicht kannst du mir ja noch folgendes beantworten…
[ul]
[li]was genau ist „u“ ? (oder ist es egal?)[/li][li]wie kommst du auf f’(u) = 10,4 ? an der stelle 2 wäre es doch 20.8 ?[/li][li]was genau heisst f strich also f’ ?[/li][li]wieso f’(4) = 41,6? da kommt doch 83.2 raus?[/li][li]also das hier zusammengefasst: 0 = (2-u) * 10,4 u + 5,2 u²[/li]
0 = 20,8 u - 10,4 u² + 5,2 u²
Und komm jetzt bloß nicht dass du noch nie was von Differentialrechnung oder Ableitungen gehört hast!
Weil ohne Ableitung macht das bestimmen von Tangenten Quadratischer Funktionen wenig Sinn.
Das wäre so ähnlich, wie in der 1ten Klasse Diktate zu schreiben und in der zweiten erst die Buchstaben kennenzulernen.
Aber 10.te Klasse Stoff ist das nicht. Eher 11.te.
[li]was genau ist “u” ? (oder ist es egal?)[/li]u ist eine Variable, da man bei einer Geradengleichung/Tagentengleichung bereits ein x hat bietet sich hier eine Umbenennung an.
[li]wie kommst du auf f’(u) = 10,4 ? an der stelle 2 wäre es doch 20.8 ?[/li]Darauf komme ich nicht, weil ich auf f’(u) = 10,4 * x komme.
f’(2) kommt ja auch 20,8 heraus.
[li]wieso f’(4) = 41,6? da kommt doch 83.2 raus?[/li]f’(4) = 10,4 * 4 ?
[li]was genau heisst f strich also f’ ?[/li]vorhin schon beantwortet.
[li]also das hier zusammengefasst: 0 = (2-u) * 10,4 u + 5,2 u²[/li]
0 = 20,8 u - 10,4 u² + 5,2 u²
0 = 20,8 u - 5,2 u²
0 = 5,2 u * (4 - u)
0 = a / 2 * u * (4-u) ?
NÖ.
Bei
0 = 5,2 u * (4 - u)
hat man ein Produkt aus
5,2 u
(4 - u)
Wenn einer dieser Terme 0 wird, wird auch das Produkt 0.
u = 0
u = 4
Diese u’s kannst du dann in die Steigung einsetzen und diese wiederum in eine Geradengleichung einsetzen.
Wie gesagt, bei quadratischen Gleichungen kommt man auf zwei Ergebnisse und damit oft auf zwei Tangenten die durch einen Punkt gehen können.
