Gleichungssystem lösen

Sonstiges Theoretisches
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Hey Leute.
Ich versuche gerade etwas… zu beweisen, versuche schon seit 2 stunden
ein paar gleichungen zusammenzufassen und umzuformen… aber jetzt komm ich nicht weiter.

es sieht momentan so aus:
(soll nach x, y, z aufgelöst werden)

meine frage… KANN man das überhaupt lösen? Und wenn ja… könnte mir jemand
vielleicht einen denksanstoß geben, wie, oder wenigstens wonach ich mal googeln könnte?

Danke! ^^

*** Edit ***

Hmm… wenn man die erste gleichung nach x umformt, kommt raus

kann man das zB in die dritte einsetzen? ich bezweifle es…
aber mal ausprobieren…

*** Edit ***

ookayy… also ein bisschen weiter umgeformt, kann ich x (wie oben gezeigt) und y mit z beschreiben… und zwar:

=-y

und… jetzt? glaubt ihr man kommt drauf… wenn man… das noch einsetzt? :smiley:

*** Edit ***

ach mist… hab versucht nach z umzuformen… in dem das mit z beschriebene x in die erste einsetzte… kommt aber folgendes raus:

was nicht sein kann -.-

*** Edit ***

aber ist ja klar, so kann man das nicht lösen, oder?.. weil jede gleichung des systems besteht aus einer ansammlung von faktoren…
die esrte ist zB irgendwasx - irgx, + irgz - irgz… sobald ich x mit z beschreibe ist z in jedem der summanden als faktor drin… und die
einzige lösung ist dann null…

mensch. das kann aber nicht sein.

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Sind die Attachments durch die EDITs kaputtgegangen?

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äh ich glaub schon… ka

*** Edit ***

jedenfalls bekomme ich das hier raus: was nicht sein kann…

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Dein Gleichungssystem hat, wenn es eindeutig lösbar ist, die Lösung x=y=z=0.

Du hast ein Gleichungssystem der Form:


w1 x + 0 y + w2 z = 0
0 x + w3 y + w4 z = 0
w5 x + w6 y + 0 z = 0

Die Werte von w sind irrelevant, wie wir gleich sehen werden. Wenden wir die Cramersche Regel an, um x zu ermitteln:


        |0 0  w2|       |w1 0  w2|
x = det |0 w3 w4| / det |0  w3 w4|
        |0 w6 0 |       |w5 w6 0 |

Die erste Determinante wird Null (sieht man leicht mit der Regel von Sarrus), während die zweite im allgemeinen Fall nicht Null ist (z.B. wegen der Diagonale w2, w3, w5), also x = 0.

Genauso wird für y und z die erste Determinante Null, was wiederum y = 0 und z = 0 bedeutet.

Natürlich kann bei ungünstigen Werten deiner Koeffizienten (z.B. wenn alle Null sind) auch die zweite Determinante Null werden, dann ist das Gleichungssystem unterbestimmt, und jede Kombination von x,y und z erfüllt die Gleichung.

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x y und z darf aber nicht null sein… also das wäre keine lösung die mir was bringen würde (auch wenn es eine ist)

also: ich wollte das kreuzprodukt herleiten. Mein ansatz war:

vektoren a, b (spannen eben auf) n ist die normale

  • = skalarprodukt

a * n = 0
b * n = 0

so. da müsste doch am ende die werte für x, y, z rauskommen, die der formel fürs kreuzprodukt entsrpechen…
ich versuche es noch einmal von vorne…

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So ganz ist mir auch nicht klar, was du meinst. Natürlich wäre a=(0,0,0) und b=(0,0,0) da eine gültige Lösung. Es gibt aber unendlich viele Lösungen… Also, was soll denn “fest” sein, und was soll ausgerechnet werden?

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Kann es sein, das die Gleichung das Kreuzprodukt der Vektoren (a1,b1,c1) X (a2,b2,c2) x (x,y,z) = (0,0,0) ist, und du einen kleinen Tippfehler hast?

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tippfehler?

also ja, ich wollte das kreuzprodukt herleiten…

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Der Tippfehler ist in der ersten Gleichung die erste Variable müßte b1 und nicht b2 sein.

*** Edit ***

Die Lösung ist dann, sofern (a1,b1,c1) x (a2,b2,c2) nicht null ist: (x,y,z) = w (a1,b1,c1) x (a2,b2,c2) wobei w eine beliebige Zahl ist.

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achso falls es jemanden interessiert, ich habe es eines ausgeschlafenen morgens dann doch hinbekommen :smiley:
mein problem war, dass ich nicht verstanden hatte, das man einen wert des normalenvektors beliebig wählen kann…
das „offizielle“ kreuzprodukt ist halt so wie es ist, damit dieses schöne und einfache xx-xx, xx-xx, xx-xx muster entsteht
und keine komplizierten brüche.