Hey Leute,
Ich hänge hier gerade an einer aufgabe, da es um einen wettbewerb geht frage ich
nur was ganz allgemeines…
und zwar: kann man einen induktionsbeweis so konstruieren, dass man eine aussage
zB für alle geraden n aus N beweist? oder halt alle ungeraden?
Kennt ihr beispiele für sowas? Also dass im induktionsschritt n+2 gerechnet wird?
oder geht das gar nicht, und man braucht bei sowas einen anderen ansatz?
Doch geht, nur i=1 und i=2 passig wählen 
… oder das, wat zu zeigen ist, verändern.
Heilig Abend nix besseres zu tun außer Mathe? ;D
Edit: Zum schnell Nachlesen: Vollständige Induktion
wie gesagt…
mein problem ist dass alle beispiele und erklärungen auf i+1 basieren…
Sagt mir doch mal eine Aussage irgendwat, wat auf alle geraden Zahlen beruht …
x ist gerade für alle geraden Zahlen >= 2.
Anfang n(2) :
x=2y ^ y natürliche Zahl => x gerade
Schritt (n->n+2) :
x+2
(laut Voraussetzung x gerade)
<=> 2y+2 ^ y natürliche Zahl = 2(y+1) => x+2 gerade
qed ( … das muss man immer dazuschreiben)
Irgendwie hatte es bei mir damals ziemlich lange gedauert, bis ich kapiert hatte, wie die Vollständige Induktion überhaupt funktioniert. Die Formulierung, die dann irgendwo bei mir eingerastet ist, deckt vermutlich auch deine Frage ab: Man will irgendeine Aussage beweisen. Z.B.
1+3+5+…+(2n-1) = n*n
Diese Aussage nennt man einfach mal P(n).
Man zeigt die Induktionsverankerung: P(0). Wenn man in die Formel oben 0 einsetzt, stimmt das offenbar.
Man macht den Induktionsschritt: (und dass ist der Knackpunkt) : Dazu zeigt man, dass aus der Aussage P(x) die Aussage P(x+1) folgt. Also
P(x) -> P(x+1)
(Der Pfeil “->” ist dort wirklich eine logische Implikation - ein “daraus folgt”).
Das ganze ist dann nur noch EIN Ausdruck, von den man zeigen muss, dass er wahr ist. Es spielt keine Rolle mehr, was links oder rechts von dem Pfeil steht. Oder dass man gerade eine vollständige Induktion macht. Einfach stur mechanisch einsetzen, und zeigen, dass das immer wahr ist*.
Und bei diesem “stur mechanisch einsetzen” liegt auch die Antwort auf deine Frage: Man macht (auf dieser Ebene) im Induktionsschritt “immer” x+1. Aber was das “P(x)” ist, ist ja wurscht. Wenn man eine Aussage beweisen will, die sich nur auf gerade Zahlen bezielt, dann definiert man eben
P(x) := “(x*2) ist gerade”
(um man die trivialstmögliche Aussage als Beispiel zu nehmen ;-))
Beim Induktionsschritt beweist man dann
P(x) -> P(x+1)
was “ausgeschrieben” eben bedeutet:
“(x*2) ist gerade” -> “(x+1)*2 ist gerade”
Würdest du sagen, der Beweis meiner doch recht trivialen Aussage, sei richtig?
[HR][/HR]
Und das ist eben Mathe, bei Beweisen muss man nur einsetzen, solange, bis man verrückt wird.^^ zB 0 ist eindeutig.
[HR][/HR]
@ TO : Wenn du da durch musst, musst du dadurch, niemand kann dir einen Tipp geben.
Behauptung:
Alle Quadrate von ungeraden Zahlen lassen bei Division durch 8 den Rest 1.
Beweis:
Induktionsanfang: 1² = 1, 1 mod 8 = 1 ist offensichtlich wahr.
Induktionsschritt: Sei für die ungerade Zahl n = 2k - 1 die Behauptung zutreffend. Dann ist n + 2 = 2k + 1.
Nun gilt:
n² = (2k - 1)² = 4k² - 4k + 1
Nach der Behauptung ist n² = 4k² - 4k + 1 mod 8 = 1, also ist 4k² - 4k durch 8 teilbar. Addiert man dazu den ebenfalls durch 8 teilbaren Wert 8k, erhält man die Zahl 4k² + 4k, die demnach auch durch 8 teilbar ist. Wenn man zu dieser Zahl noch 1 addiert, bleibt bei Division durch 8 der Rest 1. Nun ist aber
4k² + 4k + 1 = (2k + 1)² = (n+2)², und somit ist die Behauptung auch für n+2 wahr.
Aus Induktionsanfang und Induktionsschritt folgt, dass die Behauptung für alle positiven ungeraden Zahlen richtig ist, und im Falle negativer Zahlen ist sie ebenfalls wahr, da diese die gleichen Quadrate wie die positiven besitzen.
In diesem Fall wäre es leichter gewesen, die Eigenschaft direkt zu zeigen, aber wenn man einen induktiven Beweis führt, bringt der Induktionsschritt von n zu n + 1 nichts, es muss von n auf n + 2 geschlossen werden.
aaah…
hm…
danke euch!
das erscheint mir alles nun schon viel schlüssiger.
mal schauen ob ich das auf meine bastelei hier anwenden kann 
sorry noch eine kleine frage, weil mir das gerade nochmal aufgefallen ist -
wie könnte man denn bei deinem beispiel die eigenschaft „direkt zeigen“ ?
Direkt könnte man es so machen:
Sei n ungerade, also gibt es ein k in N mit n = 2k-1.
n² = (2k - 1)² = 4k² - 4k + 1 = 4k*(k+1)+1
Wenn du dir jetzt den Term 4k(k+1) anschaust, so ist dieser durch 4 teilbar und zusätzlich nochmal durch 2, denn k und k+1 sind aufeinanderfolgende Zahlen, also muss eine dieser beiden durch 2 teilbar sein, somit ist 4k(k+1) durch 8 teilbar und somit ist 4k(k+1)+1 mod 8 = 1.
Falls man eine Aussage für alle gerade/ungerade Zahlen beweisen muss, kann man IMMER die Aussage “transformieren”.
Z.b. obige Aussage:
Alle Quadrate von ungeraden Zahlen lassen bei Division durch 8 den Rest 1.
<=> Für jedes k in N gilt: (2*k-1)² mod 8 = 1.
und schon hat man eine Aussage, die für jede natürliche Zahl gelten soll.
okay… vielen dank euch
Ich hab eine Kleinigkeiten vergessen:
Anfang (2):
x=2 => x ist gerade (check) (muss nicht weiter bewiesen werden)
Nicht so kompliziert.
Jetzt kannst du mich auch danke klicken. lg
ich werde dich aber nicht danke klicken.
sorry, aber du hast mir nicht geholfen.
du hast nur mal wieder eine reihe unnötiger kommentare gepostet,
eingeschlossen dem letzten. das thema ist bereits gelöst.
warum noch etwas schreiben?
Z. B. weil ich eine richtige, vollständige Lösung gepostet hatte? Naja, Einbildung ist auch 'ne Bildung. Das gilt auch für Landei.
[quote=mymaksimus]kann man einen induktionsbeweis so konstruieren, dass man eine aussage
zB für alle geraden n aus N beweist? oder halt alle ungeraden?[/quote]
Um diese Frage mal zu genereller zu beantworten: Da es eine bijektive Abbildung zwischen der Menge der natürlichen Zahlen und der Menge der gerade natürlichen Zahlen gibt, kannst du auch nur die geraden (oder ungeraden) Zahlen verwenden.
Alternativ kann man die zu beweisende Behauptung so umformulieren, dass sie auf alle natürlichen Zahlen zutrifft. Am Beispiel von Landeis Behauptung
Alle Quadrate von ungeraden Zahlen lassen bei Division durch 8 den Rest 1.
mal vorgeführt:
(2*n + 1)^2 hat für jedes natürliche n >= 1 bei Division durch 8 den Rest 1.