Integration

Sonstiges Theoretisches
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Hey Leute.
Irgendwie verstehe ich nicht (auch anhand der Beispiele im Buch nicht)
wie man die folgende Funktion aufleiten kann (Integration durch Substitution):

f(x) = (e^4x) / (e^(2x) + 3)

weil… für die substitution muss man ja irgendwas in der form f(x) = n’(x) * m(n(x) hinbekommen…
zu substituieren ist wohl der term im nenner, also 2^(2x) + 3,

also t = e^(2x) + 3

und jetzt? Ich komme nicht weiter… man bekommt ja eigentlich nur das hin:

f(x) = 0,5 * (2e^(2x) * 2e^(2x)) / t

das ist ja irgnedetwas in der richtung f(x) = n’(x)² * m(n(x)) wenn man sagt m(x) = 1/x und n(x) = e^(2x) + 3
oder ist das irgendwie ein falscher ansatz? ich hab auch versucht zB das t nach x aufzulösen oder so… aber das
hilft irgendwie auch nicht ^^

t = e^(2x) + 3
t - 3 = e^(2x)
ln(t - 3) = 2x
ln(sqrt(t-3)) = x

yei… und jetzt? xD

Hat jemand eine idee?

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e^(4x) = e^(2x)^2 = (t-3)^2

Also müsste man jetzt das Integral (t-3)^2 / t * dx lösen. Dazu muss noch irgendwie das dx zu dt transformiert werden - keine Ahnung wie das geht, sollte aber dein Buch wissen. Ich tippe mal auf etwas mit Ableitung, vielleicht so eine Art umgedrehte Kettenregel?

Das erwartete Ergebnis findest du hier: Wolfram Alpha

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Hab mir das mal in wolframalpha angeschaut, habe leider keinen Pro-Account um durchgängig die Step-by-Step Lösung anzuschauen.

Aber! Man kann sich dort anschauen wie die Substituieren

  1. Schritt
    u = e^x, du = e^x dx

damit
u^3 / u^2 + 3 du

  1. Schritt nochmal Substitution

v = u^2 , dv = 2u

1/2 Integr v / v + 3 dv

  1. Schritt Division

1/2 Integ (1 - (3 / v + 3))

Dieses Integral dürfte Lösbar sein, nach Formeln und dann das ganze zurückrechnen.