Hi, ich lerne im Moment für eine Klausur und habe einfach ein Brett vor dem Kopf was eine der Aufgaben angeht. Ich habe schon durch langes googlen und rumsuchen in verschiedenen Foren versucht ein Beispiel für diese Art von Aufgabe mit Lösung im Internet zu finden konnte aber einfach nicht das passende finden. Bei mir im Buch steht das ganze unter dem Oberbegriff “Kumulierte Verteilung”. Ich hoffe das ich hier im Richtigen Forum bin. Also hier einmal die Aufgabe.
Ein Zahlenrad enthält 10 Felder mit den Aufschriften 0 bis 9. Wie oft mus man das Rad mindestens drehen, um mit mindestens 95-prozentiger Wahrscheinlichkeit mindestens einmal das Feld mit der Zahl 0 zu bekommen?
(p=Wahrscheinlichkeit für ein Ereigniss also p(x)=Wahrscheinlichkeit für Ereigniss x
k=Erfolg
n=Anzahl der Versuche
^=hoch
*=mal
/=geteilt)
Gesucht wird “n” ist das soweit korrekt? Gegeben sind zwei Wahrscheinlichkeiten (einmal 0,1 das man eine 0 dreht und einmal 0,95 bis 1 das man mindesten’s ein oder mehrmal’s eine 0 dreht) und einmal k ≥ 1
OK ich bin etwas weiter gekommen. (Leider kommt da ein Ungleichung.)
P(X ≥ 1) ≥ 0,95
Umgeformt (um das Gegenereignis zu bilden):
1-P(X<1) ≥ 0,95
1-0,95 ≥ P(X≤0,999)
P(X≤0,999)≤0,05
Da fehlt jetzt noch mindestens ein Schritt.
Frage eins ist meine Idee soweit richtig?
Und wenn ja wie geht es weiter, wenn nein wie löst man diese Aufgabe?
Ich freue mich über jede Antwort schon mal ein große’s danke im vor raus.
Die Fragezeichen in der Aufgabe Bedeuten in folgender Reihenfolge von links oben nach rechts unten: größer-gleich,größer-gleich,größer-gleich,größer-gleich,kleiner-gleich,kleiner-gleich,kleiner-gleich. Aus irgendeinem Grund werden diese Zeichen nicht anerkannt.
Die Antwort sollte lauten: “Das ist nicht bestimmbar”.
Die Berechnung geht nämlich davon aus, dass das Ergebnis der aktuellen Drehung vom Ergebnis er vorherigen abhängt. Das tut es aber nicht (auch nicht durch das Gesetzt der großen Zahlen). Deshalb ist die Wahrscheinlichkeit für die 0 bei jeder Drehung immer 1 zu 9 oder 10%.
Die hier gesuchte Lösung war:0,9^n kleiner-gleich 0,05. (Am ende kommt man so auf 29 Drehungen.) Dennoch stimme ich dir zu das diese Rechnung totaler Quatsch ist. Aber das super tolle Bildungssystem verlangt halt nach diesem Lösungsweg und wenn man deine (mathematisch gesehen richtige) Lösung angeben würde gäbe es kein Punkte. Trotzdem danke.
An diese Aufgabe geht man mit dem Gegenereignis ran. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man in X Drehungen KEINE 0 bekommt? Weil: P(mindestens eine 0) = 1 - P(keine 0)
Bei einer einzelnen Drehung ist die WK 90% (sagen wir mal: p = 0,9). Bei zwei Drehungen ist sie [tex]p^2[/tex] und bei x Drehungen [tex]P( ext{keine 0 bei x Drehungen}) = p^x = 0.9^x[/tex].
Also ist gesucht: [tex]P( ext{keine 0 bei x Drehungen}) = p^x = 0.9^x \le 1 - 0.95 = 0.05[/tex]
Gilt zu lösen: [tex]0.9^x = 0.05[/tex] einmal logarithmieren und schon hat man [tex]\frac{\ln(0.05)}{\ln(0.9)} = 28.433\ldots[/tex] und aufgerundet auf ganze Drehungen ergibt das dann mindestens 29 Drehungen.
Also: weniger auf das Bildungssystem schimpfen, stattdessen mehr mit der Aufgabe beschäftigen
*** Edit ***
Ein wichtiger Hinweis noch für die Klausur. Das ist KEINE gültige Umformung:
Demnach wäre dann ja 0,9999 nicht kleiner als 1. Mag sein, dass ich auf dem Schlauch stehe, aber für ein < Zeichen gibt es keine Umformung in ein „Kleiner-Gleich“, wenn man sich in [tex]\mathbb{R}[/tex] oder [tex]\mathbb{Q}[/tex] bewegt (mir fällt grad der Name der Eigenschaft nicht ein, die besagt, dass sich zwischen zwei beliebigen Elementen eines unendlichen geordneten Körpers ein weiteres Element befindet). Für [tex]\mathbb{N}[/tex] etc. sieht das natürlich (Wortwitz ) anders aus.
[quote=cmrudolph]Bei einer einzelnen Drehung ist die WK 90% (sagen wir mal: p = 0,9). Bei zwei Drehungen ist sie und bei x Drehungen[/quote]Auch das stimmt nur, wenn diedas Ergebnis der ersten Drehung das Ergebnis der nächste beeinflusst. Das tut sie wie gesagt aber nicht. Deswegen ist auch meine erste Aussage richtig.
Mal mit zwei möglichen Ereignissen:
Ein Münzwurf hat vereinfacht gesagt sowohl für Kopf als auch für Zahl die WK 50%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man in 2 Würfen KEINMAL Kopf bekommt?
25% = 0,5^2. Das kann man noch mit vollständiger Enumeration nachvollziehen:
25% zweimal Kopf
2x 25%=50% einmal Kopf, einmal Zahl
25% zweimal Zahl
Du kannst auch einen Wahrscheinlichkeitsbaum zeichnen, wenn du mir nicht glaubst, dass die Formel für unabhängige Ereignisse gilt. Den könnte man O. B. d. A. zu einem Binärbaum zusammenschrumpfen mit den Ereignissen „keine 0“ (90%) und „0“ (10%). Da bleibt dann ein Pfad übrig, bei dem nur „keine 0“ gegangen wird. Die Baumtiefe ist x = der Anzahl der Drehungen. Und da beim Traversieren des Baumes die WKs an den Verzweigungen multipliziert werden müssen, landet man wieder bei 0,9^x.
Ein riesen danke schon einmal für die schnelle und kompetente Hilfe. Diese Aufgabe habe ich nun verstanden vielen Dank. Allerdings habe ich noch ein Aufgabe zum selben Thema die mir jetzt Kopfzerbrechen bereitet. Ich nehme mir einfach mal die Freiheit heraus und frage auch hier noch einmal nach.
Ein Bäcker mischt dem Teig von 100 Brötchen 500 Rosinen bei.
a) Wie viele der entstehenden Backwerke sind eigentlich keine Rosinenbrötchen (weil sie kein Rosinen enthalten)?
Meine Antwort: p=1/100 (oder 0,01) da jede Rosine die gleiche Chance hat ein Brötchen zu treffen.
n=500 (logisch es gibt 500 Rosinen)
k=0 (wir wollen ja keine Rosinen im Brötchen haben)
Löst man das ganze mit der Binominalverteilung auf erhält 0,00657 oder 0,657%. Das bedeutet das gerundet eines der Hundert Brötchen keine Rosinen enthält. Soweit noch ganz klar. (Wenn Fehler drin sind bitte ich um Korrektur)
b)Da sich zu viele Kunden über Rosinenbrötchen ohne Rosinen beschweren, möchte der Bäcker die Beimischung von Rosinen vergrößern. Wie viel Rosinen sollte er dem Teig für Hundert Brötchen beimischen, damit die Wahrscheinlichkeit ein Brötchen ohne Rosinen zu bekommen, höchstens 0,5% beträgt?
Hinweis: Erstellen Sie eine Funktion, die die Wahrscheinlichkeit, ein Brötchen ohne Rosinen zu bekommen in Abhängigkeit von der Anzahl n der dem Teig beigemischten Rosinen beschreibt.
Mein Problem (besser Probleme) ist das ich nicht so recht weiß wie ich Anfangen soll. Ich verstehe einfach diese Aufgabe nicht, ich habe versucht sie nach dem sleben muster zu rechnen wie die andere Aufgabe, aber das ergab nur Blödsinn. Ich hab durch systemartisches testen erfahren das die “Antwort” 528 ist. (Bei 528 Rosinen beträgt die Wahrscheinlichkeit dass ein Brötchen keine Rosinen enthält 0,495%)
[QUOTE=Unregistered;72841]b)Da sich zu viele Kunden über Rosinenbrötchen ohne Rosinen beschweren, möchte der Bäcker die Beimischung von Rosinen vergrößern. Wie viel Rosinen sollte er dem Teig für Hundert Brötchen beimischen, damit die Wahrscheinlichkeit ein Brötchen ohne Rosinen zu bekommen, höchstens 0,5% beträgt?
Hinweis: Erstellen Sie eine Funktion, die die Wahrscheinlichkeit, ein Brötchen ohne Rosinen zu bekommen in Abhängigkeit von der Anzahl n der dem Teig beigemischten Rosinen beschreibt.
Mein Problem (besser Probleme) ist das ich nicht so recht weiß wie ich Anfangen soll. Ich verstehe einfach diese Aufgabe nicht, ich habe versucht sie nach dem sleben muster zu rechnen wie die andere Aufgabe, aber das ergab nur Blödsinn. Ich hab durch systemartisches testen erfahren das die „Antwort“ 528 ist. (Bei 528 Rosinen beträgt die Wahrscheinlichkeit dass ein Brötchen keine Rosinen enthält 0,495%)[/QUOTE]
Du hast doch deine Formel für die Binomialverteilung aufgestellt. Der darin vorkommende Binomialkoeffizient ist 1 (offensichtlich, weil n über 0 immer 1 ergibt). p^0 ist ebenfalls 1. Damit vereinfacht sich die Formel zu tex^{n-k}=0.99^n[/tex].
Das soll [tex]\le 0.005[/tex] sein. Also wieder den Grenzwert ausrechnen: [tex]0.99^n=0.005[/tex] und nach n aufgelöst [tex]n=\frac{\ln{0.005}}{\ln{0.99}}=527.178\ldots[/tex]. 527 Rosinen reichen noch nicht ganz aus, also müssen es 528 sein.
Du hast doch deine Formel für die Binomialverteilung aufgestellt. Der darin vorkommende Binomialkoeffizient ist 1 (offensichtlich, weil n über 0 immer 1 ergibt). p^0 ist ebenfalls 1. Damit vereinfacht sich die Formel zu tex^{n-k}=0.99^n[/tex].
Das soll [tex]\le 0.005[/tex] sein. Also wieder den Grenzwert ausrechnen: [tex]0.99^n=0.005[/tex] und nach n aufgelöst [tex]n=\frac{\ln{0.005}}{\ln{0.99}}=527.178\ldots[/tex]. 527 Rosinen reichen noch nicht ganz aus, also müssen es 528 sein.[/QUOTE]
Also hast du einfach die Standart formeln p=(n/k)p^k(1-p)^n-k genommen. Gut das kann ich nachvollziehen. Was mein Fehler in meinen Gedanken war, ich habe nicht erkannt das es sich bei ja schon sozusagen um das Gegenereigniss handelt. Es ist ja schon der wert welcher angeben soll das, sich in dem Brötchen keine Rosinen finden.
So hattest du es bei der ersten Teilaufgabe ja offensichtlich gemacht. Das sieht für mich auch plausibel aus, aber ich kann trotzdem nicht garantieren, dass der Ansatz richtig ist (ist bei mir schon ein paar Jährchen her, dass ich Stochastik hatte und das war noch nie so wirklich meine Stärke…). Wenn der Ansatz allerdings richtig ist, dann dürfte meine Lösung für b) auch richtig sein.
P. S.: Nutzt die [noparse][tex][/tex][/noparse]-Tags!
