Hallo,
Ich weiß, hier ist kein Mathe-Forum, aber vielleich könnt Ihr mir trotzdem beim Verständnis mit der Aufgabe helfen, denn das Ergebnis ist bekannt, wie angegeben, ich würde aber gerne wissen, warum es stimmt.
[TEX]\lim\limits_{n o \infty}\frac{\sqrt[n]{n^5}}{\sqrt[n]{2^n+(-6)^n}}[/TEX]
Grüße
Ich sehe das Ergebnis nicht. (Das brauche ich aber, um zu erklären, warum es ~“vollkommen selbstverständlich und offensichtlich ist, dass trivialerweise genau das rauskommen muss” :o) (Mal im Ernst: Ich werde da vermutlich nicht helfen können, aber vielleicht andere…))
Kommt denn 1/6 raus?
Meine Erklärung wäre folgende
n-te Wurzel von 5 hoch n => 1
Der Einfachheit halber, würde ich den Fall das die Wurzel negativ wird, also ungerade Zahlen erstmal nicht beachten und von 2 hoch n plus 6 hoch n ausgehen.
Das kann man umformen zu: (2 hoch n) plus (2 hoch n mal 3 hoch n)
Zusammenfassen als: (2 hoch n) mal (1 plus 3 hoch n)
n-te Wurzel von 2 hoch n : 2
n-te Wurzel von 1 plus 3 hoch n: 3, die 1 wird wohl nicht ausschlaggebend sein.
Daraus folgt also: 1 durch 2 mal 3, also 1/6
Wenn ich nun den Fall betrachte von -6, dann sollte ich das ganze Unter der Wurzel
Zusammenfassen als: (2 hoch n) mal (1 minus 3 hoch n)
n-te Wurzel von 1 minus 3 hoch n: -3, 1 wie immer nicht ausschlaggebend.
Daraus würde dann folgen, 1 durch 2 mal -3, also -1/6
Kann aber auch ganz daneben liegen. Zumindest für den ersten Fall, also gerade n und somit plus 6 hoch n gibt Wolframalpha ebenfalls 1/6 aus.
*Hier stand Quatsch 
Aber ja, der Grenzwert existiert nicht, weil es zwei Häufungswerte gibt, wie ionutbaiu vorgerechnet hat.
Der Rechenweg von @Sunshine sieht für mich richtig aus. Ich finde die Schreibweise [tex]\sqrt[n]{x}[/tex] = [tex]x^{\frac{1}{n}}[/tex] hilfreich für das Verständnis des Grenzwertes.
Mir ist wohl im ersten Post wohl das Ergebnis verloren gegangen, aber es soll 1/6 sein. Ich verstehe jetzt wie man auf die Lösung kommt, danke euch.
Nach meinem Verständnis existiert hier kein Grenzwert, sondern nur zwei Häufungspunkte.
Bei meiner Aufgabe wird angenommen, dass dieser Wert positiv ist, da es darum geht eine Folge nach dem Wurzelkriterium zu überprüfen. Daher dürfte man ja eigentlich in dem Fall den Term als Grenzwert annehmen.
Der Grenzwert definiert sich so, dass für jedes Epsilon in ab einer bestimmten Stelle der Folge der sich dem Wert annähernden Funktionswerte alle weiteren einen Abstand von höchstens Epsilon haben. Wenn man sich nur die Folge der positiven Ergebnisse anschaut, stimmt das natürlich.