Hey leute.
Es gilt ja das potenzgesetz (a^b)^c = a^(b*c)
Eigentlich laesst sich das doch auch bei bruechen, also kommazahlen anwenden, oder?
Irgendwie aber auch nicht.
f(x) = sqrt(x^0.4)
So. Potenzgesetz:
= x^(0.4*0.5) = x^(0.2)
Allerdings eribgt x^0.2 einen anderen graphen, undzwar laeuft dieser im negativen bereich gegen minus unendlich, die ausgangsfunktion allerdings gegen + unendlich. Warum ist das so?
Hat jemand eine idee? Oder ist das schlicht und einfach falsch und man darf das nur mit natürlichen zahlen machen?
*** Edit ***
Noch ein beispiel, diesmal ableitungsregeln:
f(x) = x^0.2-3x+2
f’(x) = 0.2x^-0.8-3
f’(x) = 0
x = -0.8tewurzel(15) = -29.5198…
Humbuck, rauskommen sollte 0.033875 und nochmal im minus.
Wie lässt du den Graphen denn zeichnen? Denn für negative x ist das Ergebnis in beiden Fällen komplex, hat also einen Imaginäranteil.
Ups. Letztes beispiel stimmt nicht, da wurde das minus im rechner aufgrund fehlender klammern nur falsch interpretiert. Da funktioniert das. (-0.8te wurzel ist ja auch ^-1.25)
*** Edit ***
Imaginaer teil? Eigentlich ja nicht…
Ich zeichne mit dem ti-82 stats, und der ist
Auf nicht komplexe zahlen eingestellt.
Das heisst ich bekomme einen Non real answer error, wenn ich zum beispiel die quadratwurzel aus minuszahlen ziehe. Aber bei kommazahl wurzeln geht das manchmal… manchmal aber auch nicht
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Wieso auch. ^0.2 ist ja fuenfte wurzel. Das geht ja mit minus zahlen.
*** Edit ***
Damit wäre man ja beim problem… fuenfte wurzel aus minuszahlen kann ja nur minuszahlen ergeben. Quadrat wurzel nur positive. Aber 0.4*0.5 ergibt nun mal 0.2…
*** Edit ***
Ups. Letztes beispiel stimmt nicht, da wurde das minus im rechner aufgrund fehlender klammern nur falsch interpretiert. Da funktioniert das. (-0.8te wurzel ist ja auch ^-1.25)
Du musst mit den Definitionsbereichen aufpassen. x^0.4 ist im negativen komplex. Wenn du das mit einem anderen Exponenten zusammenfasst, kann es sein, dass ein reelles Ergebnis rauskommt. Dieses Ergebnis ist aber nicht im Definitionsbereich der ursprünglichen Funktion.
Das ist vergleichbar mit Funktionen, bei denen ein x im Nenner steht. Dort gibt es Polstellen, die beim Zusammenfassen verschwinden können.
Lies dir mal die Abschnitte Rationale Exponenten und Reelle Exponenten im Wikipedia-Artikel zu Potenzen durch. Da steht auch ein bisschen zu dem Thema.
*** Edit ***
Die Definitionsbereiche im selben Artikel unter Potenzgesetze sind vllt. auch hilfreich.
[quote=mymaksimus]So. Potenzgesetz:
= x^(0.4*0.5) = x^(0.2)[/quote]
der graph von x^(0.2) ist immer oberhalb der x-Achse!
und das ist x^(1/5), also die Zahl y >=0 mit y^5=x
und die wurzel aus x^(0.4) ist die zahl z>=0, mit der Eigenschaft z^2=x^(2/5) und x^(2/5) ist die Zahl u mit u^5=x^2 => z^10=x^2 => z^5=x
Wenn du x^(-0.8) meinst, dann ist das 1/(x^0.8) und ist NIE negativ
Merke:
x^r ist NUR definiert wenn x>0 ist
x^(m/n) ist die (eindeutig bestimmte) POSITIVE Zahl y für die gilt: y^n=x^m
x^(-r) := 1 / (x^r) ist immer der Kehrwert - also IMMER > 0
für beliebige Exponenten ist x^a:=exp(ln(x) a)
in vollster Allgemeinheit gelten die Regeln
(x^a)^b=x^(ab)
übrigens nicht…
Wow danke, das schreib ich mir mal ins mathe heft ^^
Hm, ja, merkt man ja dass das nicht immer gilt.
Wieso steht das dann im buch -.- naja.