Hallo,
Es gibt folgende Summe zu berechnen:
[TEX]\sum_{k=3}^{\infty} (-4)^{3k} \cdot (7)^{1-3k}[/TEX]
Wie geht man dabei vor oder was ist der Trick dabei? Wolfram scheint es zu gelingen, aber mir gelingt es schlicht nicht auf das Ergebnis zu kommen.
Ohje, Hochschulmathe. Lass mal sehen was davon noch übrig ist; bevor niemand was schreibt.
Du bildest die Reihe immer weiter aus für jeden Schritt n+1 bis du der Meinung bist dass sich die Reihe anfängt zu wiederholen.
Danach versuchst du eine Regel bzw. eine Formel f(k+n) zu entwerfen mit der du das Ergebnis an jedem beliebigen Punkt berechnen kannst. Du machst aus der Summe also eine Formel.
Eigenständiges logisches Denken ist gefragt! Ich weis, schlimm! Dafür hat man nicht angefangen zu studieren! 
Und die Formel kannst du dann meist für n=unendlich berechnen bzw. näherungsweise bestimmen.
So berechnet man auch Sinus, Cosinus, Tangens, PI, etc…
Man kann das ganze erstmal vereinfachen.
Schritt 1:
Sum (-4^3k) x (7^1) x (7^-3k)
Schritt 2:
7 x Sum (-4^3k) x (7^-3k)
Schritt 3
7 x Sum (-4^3k) / (7^3k)
Dann sieht man auch, dass der Summand bei grossen k recht schnell gegen 0 geht.
Von daher kann man einfach mal die ersten Elemente berechnen und dann sehen was dabei rauskommt.
Ok, ich habe jetzt eine äquivalenten Term: [TEX]\sum_{k=3}^{\infty} (-1)^k \cdot (\frac{64}{343})^k[/TEX]. Glaube da bin noch ein wenig von der Lösung entfernt. Gibt es eigentlich nicht für so etwas Summenformeln?
Richtig, in deinem Fall ist dies nun eine geometrische Reihe und dafür gibt es die geometrische Summenformel.
Beitrag #3 https://forum.byte-welt.net/sonstiges/theoretisches/23398-unendliche-summe-berechnen.html#post144856 war noch freizuschalten, vielleicht hilft der ja noch.
Zwei Schritte fehlen noch, dann hast du die geometrische Reihe in der Form [tex]\sum_{k=0}^{\infty}a_0\cdot q^k[/tex]:
Du musst die -1 in die zweite Klammer schieben und dann musst du den Index noch anpassen, sodass er von k=0 losläuft. a0 ist in deinem Fall 1. q ist dann [tex]-\frac{64}{343}[/tex].
Den Index passt du an, indem du die zuviel berechnete Partialsumme wieder subtrahierst: [TEX]\sum_{k=0}^{\infty} (-\frac{64}{343})^k - \sum_{k=0}^{2} (-\frac{64}{343})^k[/TEX]
Für beide Summenzüge gibt es eine geschlossene Darstellung, in die du nur noch einsetzen musst.
*** Edit ***
Wie kommst du auf die äquivalente Darstellung? Das ist auf den ersten Blick recht weit von dem weg, was ich aus der Summe in #1 machen würde.
Edit: Ich habe es jetzt mal durchgerechnet. Deine Formel ist doch nicht so weit weg. Allerdings ist a0 = 7, dein q ist richtig.
Ja, die sieben habe ich vergessen und bin mittlerweile auch auf die Lösung gekommen:
[TEX]7 \cdot (\frac{1}{1-(-\frac{64}{343})} - \frac{1-(-\frac{64}{343})^3}{1-(-\frac{64}{343})})[/TEX]
Der equivalente Term war ein wenig falsch, den musste man nämlich noch mit 7 multiplizieren. Ich bin aber darauf gekommen durch geschicktes anwenden der Potenzregeln [TEX]a^c \cdot b^c = (a \cdot b)^c[/TEX], [TEX]a^{b-c} = \frac{a^b}{a^c}[/TEX] und [tex]a^{b \cdot c} = (a^{b})^{c}[/tex]
*** Edit ***
Und eventuell [TEX]\frac{1}{a^b} = (\frac{1}{a})^b[/TEX]
*** Edit ***
Noch zum Ergebnis vergleichen Links:
Lösung von Wolframalpha
Meine Lösung