Wärmeleitungsgleichung

Wie schnell kühlt sich eine Flüssigkeit (0,33l, 22°C), die man in einen Eisschrank (-10°C) legt, auf 4°C ab?

Dazu musst du erst einmal die spezifische Wärmekapazität der Flüssigkeit kennen: https://de.wikipedia.org/wiki/Spezifische_Wärmekapazität

Dann müsste man noch wissen, wie effektiv die Wärme im Eisschrank abtransportiert wird.

0,58 (Wärmeleitfähigkeit bei 20 °C in W/(m·K))

der Einfachheit halber nehmen wir hier Wasser an, außerdem in einem quadratischen Dose.

Der Eisschrank kann sehr sehr sehr effektiv die Wärme abtransportieren, bitte auch annehmen.

Hast du eine einfache „Herleitung“?

Generell kann man mit guter Nährung eine exponentielle Abkühlung ansetzen (Newtonsches Abkühlungsgesetz):

T(t) = U + (T(0) - U) * exp(-K * t)

T(0) - Ausgangstemperatur
T(t) - Temperatur zum Zeitpunkt t
U - Umgebungstemeratur
K - Wärmeübertragungskoeffizent

Der Knackpunkt ist natürlich die Bestimmung von K:

Der Wärmeübertragungskoeffizient K (Einheit 1/s) hängt von der Größe der Kühlfläche, der Wärmeübergangszahl zwischen Körper und Luft, der Wärmeleitung des Körpers und der Strömungsgeschwindigkeit der Kühlluft ab.

http://www.inw.hs-merseburg.de/~wobst/Physik-Praktikum/NA-Newtonsche%20Abk�hlung.pdf

Danke Landei! Hab’s hinbekommen:

	public static double T(double t0, double u, double t) {
		return u + (t0 - u) * Math.exp(-0.04 * t);
	}

	public static void main(String[] args) {
		for (int i = 0; i <= 20; i++) {
			System.out.println(i + " " + T(22, -10, i));
		}
	}

Es dauert ungefähr 20 Minuten, bis 4°C erreicht ist, und den Wärmeübertragungskoeffizient hab ich auf einer Chemie-Seite gefunden. :wink:

Nach 30 Minuten friert das Bier. :smiley:

Edit: Und nach (Newton’s(?)) Bisektionsverfahren ist der genaue Koeffizient 0.04133392 :

	public static double T(double t0, double u, double t, double K) {
		return u + (t0 - u) * Math.exp(-K * t);
	}

	public static void main(String[] args) {
		double k1 = 0.02;
		double k2 = 0.06;
		while (Math.abs(4 - T(22, -10, 20, (k1 + k2) / 2.0)) > 1.0e-5) {
			if (T(22, -10, 20, (k1 + k2) / 2.0) < 4) {
				k2 = (k1 + k2) / 2.0;
			} else {
				k1 = (k1 + k2) / 2.0;
			}
		}
		double K = BigDecimal.valueOf((k1 + k2) / 2.0).round(MathContext.DECIMAL32).doubleValue();
		System.out.println(K);
		for (int i = 0; i <= 20; i++) {
			System.out.println(i + " " + T(22, -10, i, K));
		}
	}
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Und jetzt austesten und nachmessen.

Werd ich machen, brauche nur ein genaues Thermometer.

Ich könnte auch jede Minute einmal den Eisschrank öffnen und schauen, ob etwas gefriert. :older_man:

Das wird nicht funktionieren, weil die Gleichung nur annäherungsweise den Temperaturverlauf in einer Phase bei konstanter Konvektion in Umgebungstemperatur ohne Wärmestrahlung beschreibt.

Das heißt:

  1. Beim Phasenübergang Flüssig->Gefroren muss noch die Schmelzenthalpie der Flüssigkeit entzogen werden, und die ist sehr hoch.
    (Der Gefrierprozess dauert sehr viel länger als das Abkühlen auf die Gefriertemperatur)
  2. Beim Einfrieren kommt die freie Konvektion zu einem Stop.
  3. Durch das ständige öffnen des Tiefkühlfachs, steigt die Temperatur der Umgebungsluft und deine Annahme der konstanten Umgebungstemperatur ist nicht mehr richtig.

Die heutigen Erkenntnisse der Thermodynamik wurden erst 100 Jahre nach den Lebzeiten Newtons begründet.

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Hab mir 5 Thermometer bestellt, aber kein Kontaktloses (zum Fiebermessen, was ich eigentlich dafür bräuchte…), weil diese Dinger im Vergleich ziemlich teuer sind.

/e Die hiesige Lieferzeit ist übrigens 5 Wochen inzwischen…